矩阵和矩阵乘法

矩阵

矩阵作为线性方程组的一种标记法而被引入数学舞台的

• 矩阵的第i行可以看作行向量，用 ai* 表示；同样第j列可以看作列向量，用a*j 表示

• 行数和列数相等，且都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵，可记为 An

• 元素均为0的叫零矩阵，记作 O

高斯消元法

1. 消元
2. 回代
3. 方程两侧除以未知数的系数，得到结果

特殊矩阵

1. 行阶梯矩阵

• 非零矩阵
• 非零行在零行（若存在的话）的上面
• 非零行最左边的首非零元素在上一行（若存在的话）的首非零元素的右面
• 非零行最左边的首非零元素叫主元

2. 对角阵

• n阶方阵主对角线以外的元素均为0，就叫n阶对角矩阵
• 两同阶的对角矩阵相乘，结果是对应的对角元素相乘，同时也是对角矩阵

3. 单位阵

• 主对角线上的所有元素均为1，其余元素均为0，记作 I或记作 E
• 矩阵乘法中，单位阵乘上任意矩阵A，其结果还是A

4. 行最简矩阵

• A是行阶梯矩阵
• 主元为1
• 除主元外，其所在列上下其他元素均为0

初等行变换与初等行矩阵

1. 倍加变换：某行的k倍加到另一行
2. 倍乘变换：某行乘k倍
3. 对换变换：某两行互换

在单位阵上应用初等行变换一次得到的就是初等行矩阵

矩阵的加法与乘法

两个矩阵行数相同，列数相同，称为同型矩阵，如果对应的元素都相等，则两矩阵相等

同型矩阵相加才是合法的，其结果是对应的元素相加

矩阵的数乘其结果是矩阵的各个元素均乘上该数即可，若有矩阵A，则-A称为负矩阵，A+（-A）=O

矩阵乘法合法性：

• m * n矩阵只能和n * p矩阵相乘
• 相乘后矩阵大小为m * p

矩阵乘法的行观点：

• 适用于 xA
• 其结果可以看作是矩阵A行向量线性组合

矩阵乘法的列观点：

• 适用于Ax
• 其结果可以看作是矩阵A的列向量线性组合

矩阵乘法的点积观点：

• 适用于矩阵与矩阵的相乘
• 左侧矩阵的行向量点积右侧矩阵的列向量，即可得到矩阵的每个元素

矩阵的幂运算与转置

设A是方阵，则A^k+1^ = A^k^A^1^

把矩阵A的行换成对应的列，此操作叫矩阵的转置，转置后的矩阵称为转置矩阵，记作A^T^

(A^T^)^T^ = A，（AB）^T^ = B^T^A^T^，(A^T^)^n^ = (A^n^)^T^，（A+B）^T^ = (A^T^ + B^T^)

若A^T^ = A，则称矩阵A为对称矩阵，若A^T^ = -A，则称矩阵A为反对称矩阵