向量定义
高中时：向量就是有大小有方向的量，只有长度大小和方向都相等时，两个向量才相等
线代中：n个有序的数 a1,a2···，an 所组成的数组称为n维向量。这n个数称为该向量的n个分量，n也称为该向量的维数；若两个向量的维数相同，且各个分量相等，则两向量相等
零向量
n维向量的所有分量都是0，则称为零向量
向量加法和数乘
加法：平行四边形法则/三角形法则
数乘：几何意义就是对向量进行伸缩，对应数字的符号决定了伸缩的方向；可用于定义平行（零向量与任意向量平行，可以说零向量的方向是任意的）
减法：
线性组合与线性相关
- 若干同维数的向量a1···am所组成的集合A，称为
向量组；记作：A：a1···am 或 A = {a1, ···, am} - 给定向量组A和向量b，若存在一组实数k1···km使 ：b = k1a1 + k2a2···+kmam；则称b为A的
线性组合或b能由A线性表示 - 给定向量组A，若存在不全为0的实数k1···km使 ：0 = k1a1 + k2a2···+kmam，则称A
线性相关，否则线性无关 - 只要向量组中存在零向量，则该向量组必线性相关
- 线性无关的向量组，升维后依然线性无关
- 线性相关的向量组，降维后依然线性相关
向量空间
向量空间：
- 包含向量
- 向量的运动依然在空间中（运动：指向量的基本运算（加法，数乘等））
- 向量空间可以用向量组表示
- 所有n维向量构成的集合是一个向量空间R^n
- 向量空间必须包含原点
- 向量空间不一定是R^n，也可以是其子集，称为
子空间，如R^3中的原点，直线或平面
张成空间
即向量组的所有线性组合所形成的向量空间
几何意义：（补充：相交的两直线可唯一确定一个平面）
等价向量组：向量A和向量B能够相互线性表示，则称该两向量组等价
若有两个向量组A和B，则A和B等价 <=> span(A) = span(B)
最大无关组：
最大无关组并不唯一，但其包含的向量数目是相同的，此数目就是秩，记作 r（向量组）
向量空间的基
定义：已知V为向量空间，若向量组A={a1, a2,···, an}是V的极大无关组，则向量组A称为向量空间V的一个基
对向量空间而言，基并不唯一
有了基即可对向量空间中的向量进行定位，即找出对应向量的坐标
由上图得出：即向量空间中每一个向量都可以由基线性表示，其对应的系数就是对应基下的坐标
选择不同的基，实际上就是在向量空间中建立了不同的坐标系
自然基：某一维为1，其余均为0，如下图
向量空间维度：若向量空间V的基为A = A={a1, a2,···, ar}，则A的秩r称为向量空间的维度，或称V为r维向量空间
数量积（点积）
欧几里得空间 = 向量空间 + 长度和角度
cosθ = a1b1 + a2b2 / ||a|| * ||b||，a,b != 0
即角度：cosθ = a·b / ||a|| * ||b|| (两向量的点积除以各自长度的乘积)
长度： ||a|| = √a·a （向量自身的点积）
欧几里得空间 = 向量空间 + 长度和角度 = 向量空间 + 点积
注意：在自然基下才能通过点积计算长度和角度
点积的性质：
- 交换律： a·b = b·a
- 数乘结合律：(ka)·b = k(b·a)
- 分配律：(a+b)·c = a·c + b·c
- 点积的数乘结合律并不满足向量的结合律
余弦相似性：余弦值可用于度量向量之间方向的相似性
若两向量内积为0，则称它们是正交的
